Featured Post

தமிழில் போர்னோகிராஃபி இருக்கிறதா என்ன?

இன்று டிவிட்டரில் ஸ்ரீதர் நாராயணன் என்னிடம்,  “@ mohandoss சில எல்லைகளை அநாயசமா கடந்து எழுதறீங்க. ஆனா, எதுக்கு எழுதனும்கிற நோக்கமும...

Monday, February 19, 2007

The Beautiful Mind - John Nash - Game Theory

நான் இந்த திரைப்படத்தை முதன் முதலில் பார்த்த பொழுது, எல்லா ஆங்கில திரைப்படங்களைப்போல இதுவும் முழுமையாக விளங்கவில்லை. அதற்கு என் ஆங்கில அறிவுத்திறனே காரணம். சின்ன வயதில் இந்திப்படங்கள் பார்த்ததைப்போலத்தான் நான் ஆரம்பத்தில் ஆங்கிலப்படங்கள் பார்த்து வந்துள்ளேன். அதாவது முதலில் படத்தின் சூழ்நிலையை(situation) நன்றாக புரிந்து கொள்வது, பிறகு சம்பவத்தின் சூழ்நிலையை புரிந்துகொள்வது, பிறகுதான் உரையாடல்கள், யார் கொடுத்த வரமோ சூழ்நிலைகளை கொஞ்சம் சரியாக புரிந்து கொள்ளத்தெரிந்ததால், ஆங்கிலப்படங்கள் பார்க்கும் அறிவைப்பெற்றேன்.

பிறகு இரண்டு மூன்று முறைகள் பார்த்து உரையாடல்களையும் சரிபார்த்துக்கொள்வேன். சில படங்கள் பார்த்ததும் நான் புல்லரித்துப்போய் நின்றதுண்டு அதில் முக்கியமான ஒன்று இந்தப்படம். பிறகு நான் கொஞ்சம் கொஞ்சமாய் இந்தப் படத்தைப்பற்றிய விபரங்களை சேகரிக்கத் தொடங்க அது என்னை மேலும் மேலும் வியப்பில் ஆழ்த்தியது. முதலில் இந்தப் படத்தைப்பற்றி,

ரான் ஹோவார்ட்(Ron Howard) தயாரித்து இயக்கிய இந்தப்படம், சில்வியா நாஸர்(Sylvia Nassar) என்பவர் எழுதிய த பியூட்டிபுல் மைண்ட்(The Beautiful Mind) என்ற புத்தகத்தை அடிப்படையாகக்கொண்டது. சில்வியா நாசர், இதற்காக மூன்று உழைத்து நேஷ்ப்பற்றியதகவல்களை சேகரித்து புத்தகமாக, நேஷ்ஷின் வாழ்கை வரலாறாக எழுதினார். இதற்கு அவருக்கு சிறந்த வாழ்கை வரலாற்று ஆசிரியருக்கான விருது கிடைத்தது.(Sylvia Nasser's efforts were recognized when the book won the 1998 National Book Critics Circle Award for Biography, a nomination for the Pulitzer Prize for Biography.)
ஆஸ்கர்(Oscar) விருதில் நான்கை தட்டிச்சென்ற பெருமை இந்தப் படத்திற்கு உண்டு. இதற்கு முந்தைய வருடம்(2000) நடந்த ஆஸ்கரில் கிளாடியேட்டருக்காக(Gladiator), சிறந்த நடிகர் பரிசைப்பெற்ற ரஸல் குரோ(Russel Crowe), அடுத்த ஆண்டு(2001) இந்தப் படத்திற்காக, சிறந்த நடிகருக்கான ஆஸ்கர் தேர்வு பட்டியலில் இருந்தார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. எனக்கு நன்றாக நினைவில் இருக்கிறது, பெண்களுக்கான ஆஸ்கரை கொடுத்துவிட்டு ரசல், ஆண்களுக்கான பிரிவின் தீர்ப்பை எதிர்பார்த்து நின்றது.

துரதிஷ்டவசமாக அந்த ஆண்டு டென்சல் வாஷிங்டனிற்கு(Denzal Washington) அந்த விருது சென்றடைந்தது(எனக்கு மிகவும் விருப்பமான இன்னொரு ஆங்கில நடிகர்.) அந்தப் படத்தின் கதை ஒரு தலைசிறந்த கணிதமேதையான ரசல் குரோ (ஜான் நேஷ்) எப்படி schizophrenia நோய்க்கு ஆள்ப்பட்டு 25 வருடங்கள் அந்த நோயில் தீவிரத்தால் தன் கணிதத்திறமையை வெளிப்படுத்த முடியாமல் பின்னர் நோயிலிருந்து மீண்டு(விஷயமே இங்குத்தான் இருக்கிறது) 1994ம் ஆண்டிற்கான நோபல் பரிசை பெற்றதைப்பற்றிய கதைதான் அது.

அந்த நோய் 2 மில்லியன் அமேரிக்கர்களைத்தாக்கியதாகவும், உலகின் 100ற்றில் ஒருவருக்கு இருக்கக்கூடியதாகவும் கருதப்பட்ட மனவழுத்த வியாதியாகும். (Mental illness that affects more than two million Americans and 1 in 100 people across cultures: schizophrenia.) நேஷ்ஷின் விஷயத்தில் இது கொஞ்சம் விசித்திரமானது, தான் கணித மேதையென உணர்ந்த சமயத்தில் வெளிகிரக மனிதர்கள், இந்த உலகத்தைக் காக்க தன்னை தேர்ந்தெடுத்ததாக நினைத்துக்கொண்டு அதிலேயே வாழ்ந்ததுதான் நேஷ்ஷின் பிரச்சனை(delusions, frequent auditory hallucinations, illusions that messages are being sent to him through television or newspapers, a skewed view of reality leading to paranoia. And like many who have struggled to live functional lives with the illness). பலர் இந்த வியாதிக்கு ஆட்பட்டு பிறகு இந்தநோயிலிருந்து மீண்டு வராமல் அப்படியே இறந்துவிடும் நிலையில். சுமார் இருபத்தைந்து ஆண்டுகள் கழித்து இந்த நோயிலிருந்து மீண்டது தான் ஜான் நேஷ்ஷின் ஆளுமை. இதை மிக அழகாக படமாக்கி இருப்பார் இயக்குனர்.

இனி ஜான் நேஷ்ஷைப்பற்றி


ஜான் நேஷ் நோபல் பரிசு பெற்ற பொழுது(வலது புறமிருப்பவர்)

ஆரம்பக்காலத்தில் இந்தப்படம் வெளிவந்த சமயத்தில் நேஷ்ஷை தாக்கிய இந்த நோய் பிரபலமான அளவிற்கு நேஷ்ஷின் புகழ் பிரபலமடையவில்லை. உலகின் ஒரு தலைசிறந்த கணிதமேதை அடையாளம் தெரியாமலே இருந்தார். இன்னமும்தான். (இங்கே எத்தனை பேருக்கு ஜான் நேஷ்ஷை தெரியும் என்று எனக்கு தெரியாது.) இனி நாம் இங்கு பார்க்கப்போவது ஜான் நேஷ்ஷைப்பற்றியும் அவருக்கு நோபல் பெற்றுத்தந்த கேம் தியரியைப்பற்றியும்(Game Theory) தான்.(எனக்கு உண்மையிலேயே நேரடியாக இந்த விஷயத்தை இழுக்க பயமாக இருந்த காரணத்தினால் தான் த பியூட்டிபுல் மைண்ட் படத்தை இழுத்தேன்.)

ஜான் நேஷ்ஷைப்பற்றி பார்ப்பதற்கு முன்னர் கேம் தியரியைப்பற்றியும் அதன் தேவையைப்பற்றியும் தெரிந்து கொள்ளலாம்

கேம் தியரி(Game Theory)

அதாவது ஒரு பந்தயத்தை எப்படி வெல்வது என்பதைப்பற்றிய ஒரு தியரமாகவே இந்த கேம் தியரியைப்பார்க்கலாம். முதன் முதலில் இது, போடப்பட்ட முடிச்சுக்களை திறமையாக அவிழ்ப்பதில் தொடங்கி, பின்னர் சதுரங்கம் போன்ற விளையாட்டுக்களில் தன்னுடைய வெற்றியை நிர்ணயிப்பதில் இருந்தது.

இது போன்ற விளையாட்டுக்களில் எதிராளியின் நகர்வு நமக்குத்தெரிந்திருக்கும் உதாரணத்திற்கு சதுரங்கத்தில் எதிராளியின் நகர்தலை நாம் நேரில் பார்ப்பதைப்போல, ஆனால் சீட்டுக்கட்டை எடுத்துக்கொண்டால் மற்றவரிடம் இருக்கும் கார்ட் நமக்குத்தெரியாது. இதன் காரணங்களால் கணித வல்லுநர்கள் இந்த துறையில் கவனம் செலுத்தத்தொடங்கினர். இதில் நம் கணிப்புக்களும் இருக்கும் உண்மையான கணக்கும் இருக்கும்.

இது கொஞ்சம் கொஞ்சமாக முன்னேறி, வர்த்தகத்துறையிலும், போர்க்காலங்களிலும் பயன்படும் அளவிற்கு வளர்ந்தது. அதாவது மற்ற போட்டியாளர்கள் என்ன விதமாக சிந்திக்கிறார்கள் என்பதை தெரிந்து கொள்வதிலிருந்து மற்றநாட்டின் இராணுவ விவகாரங்களை அறிந்து கொள்வது வரை.

இவர்கள் பணத்திற்காகவோ இல்லை ஒரு இடத்திற்காகவோ யோசித்துக்கொண்டிருக்கிறார்கள் என்றால் எதிராளியும் யோசிப்பார்கள். நம்முடைய காஷ்மீர் விவகாரத்தைப்போல் இரு நாட்டிற்கும் இதைப்பற்றிய சில கொள்கைகள் இருக்கும். அவர்கள் அதைவிட்டு மாற மாட்டார்கள். இதனால் இந்த மாதிரியான விவகாரங்களில் வெற்றி தோல்வி என்பதில்லாமல் நடுநிலைமை என்ற ஒன்று ஏற்பட்டுவிடும். நம் ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட காஷ்மீரத்தைப்போல்.

இங்கே தான் வருகிறார் ஜான் நேஷ், இந்த கேம் தியரியை நிகழ்கால உலகம் பயன்படுத்தும் ஒரு விஷயமாக தந்த பெருமை இவரையே சாரும். 1950ல் இருந்து 1953 வரை நான்கு மிக முக்கியமான, இது(கேம் தியரி) சம்மந்தப்பட்ட தன் கண்டுபிடிப்புக்களை(Four papers that revolutionised game theory) நேஷ் வெளியிட்டார். தன் இளமைப்பருவத்தில் அதாவது தன் இருபதிலிருந்து இருபத்தைந்தாம் வயது காலகட்டத்திற்குள் இவர் இதை செய்து முடித்தார். இவர் தன் ஆராய்சிக்கு எடுத்துக்கொண்டது, கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம் வராத விளையாட்டுக்களை(பிரச்சனைகளை).

சதுரங்கம் போன்ற விளையாட்டுகள் பொதுவாக கூடுதல் தொகை பூஜ்ஜியம் வரும் விளையாட்டுக்கள், அதாவது யாராவது ஒருவர் வென்றால் மற்றவர் தோற்பார். இவர் எடுத்துக்கொண்டது இப்படி கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம் வராத விஷயத்தை(Non zero sum's), அதாவது ஒரு நிர்வாகத்தையும் அதன் யூனியனையும் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள், ஒரு விவகாரத்தில் தவறு நிகழ்ந்தால் வேலை நிறுத்தம் தொடங்கி, உற்பத்தி பாதிப்பு ஏற்பட்டு இருதரப்பிற்கும் நஷ்டம் ஏற்படும். ஆனால் இதற்கான ஒரு விஷயம் தான் ஜான் நேஷ் கண்டுபிடித்த கேம்தியரி, இருதரப்பும் ஒப்புக்கொள்ளும் ஒரு முடிவை நோக்கி விஷயத்தை நகர்த்துவது.

ஜான் இதற்கான தன் ஆய்வை கணித முறைகளைப்பயன்படுத்தி கண்டறிந்தார். அது ஒரு நடுநிலைமைக்காரணி(Nash Equilibrium) என்று கூறலாம். இருதரப்பிற்கும் வெற்றி தோல்வி இல்லாமல் ஆனால் பிரச்சனையை தீர்ப்பது.

தற்பொழுது நடைபெறும் பில்லியன்களை சம்மந்தப்படுத்தும் ஏல விவகாரங்களில் இவரது இந்த ஆய்வின் முடிவுதான் பயன்படுகிறது. ஆரம்ப காலங்களில் இருந்த சில தவறான முறைகளால், மிகவும் கவலைக்கிடமாக இருந்த இதைப்போன்ற ஏல முறைகள் பிற்காலத்தில் தாக்குபிடிக்க முடிந்தது இவரது கண்டுபிடிப்பால்தான்.

அதாவது, ஏலத்தொகையை தீர்மானிப்பது, நேர்முகமாகவா இல்லை மறைமுகமாகவா தங்களுடைய ஏலத்தொகையை தெரிவிப்பது என்று தீர்மானிப்பது, ஏலத்தொகைப்பற்றிய விவரங்களை எவ்வாறு பெறுவது என்பது சம்மந்தப்பட்ட விவகாரங்களை இவரது ஆய்வின் முடிவை வைத்துத்தான் தீர்மானித்தார்கள். இதற்கு நாஷ் கண்டுபிடித்த நடுநிலைமைக்காரணி(Nash equilibrium) முக்கிய பங்காற்றியது.

இதன் போன்ற காரணங்களால் தான் ஜான் நேஷ் ஒரு தலைசிறந்த கணிதமேதையாக கருதப்படுகிறார்.

நேஷ்ஷின் இந்த கண்டுபிடிப்பிற்காக(1950) 1994ம் ஆண்டு இன்னும் இரண்டு பொருளாதார வல்லுநர்களுடன் சேர்ந்து நேஷ்ஷிற்கும் நோபல் பரிசு வழங்கப்பட்டது.

முடிப்பதற்கு முன்னால் ஒன்று, நாஷ்ஷிடம், நீங்கள் மனவழுத்ததில் இருக்கும் பொழுது ஏன் அந்த அந்நிய கிரகவாசிகள் தன்னை இந்த உலகத்தை காப்பாற்ற தேர்ந்தெடுத்ததாக நினைத்தீர்கள் என்று கேட்டதற்கு, அவர் இதைப்போன்ற அதீத சக்திபெற்ற அந்நிய சக்திகளைப்பற்றிய எண்ணம் தோன்றிய அதே விதத்திலேதான் என் கணிதத்திறமைக்கான(சிக்கல்களுக்கான) சில எண்ணங்களும்(விடைகள்) தோன்றின அதனால் தான் என்றாராம். ("Because the ideas I had about supernatural beings came to me the same way that my mathematical ideas did. So I took them seriously.")


நான் உபயோகப்படுத்திய கட்டுரைகள்

நாஷ்ஷைப்பற்றி
சில்வியா நாசரைப்பற்றி
த பியூட்டிபுல் மைண்ட் படம் பற்றி

22 comments:

இராமநாதன் said...

நல்ல பதிவு.

நேஷை பத்தி படம் பார்த்தப்புறம் தான் எனக்கும் தெரியும்.

கணிதமெல்லாம் நமக்கு ஒவ்வாத விஷயம். அதனால் கேம் தியரி பத்தி நீங்க சொன்னதெல்லாம் பத்தி எனக்கு எதுவும் புரியல. :(

"this game is flawed" னு சொல்லிட்டு எழுந்து போவாரே. எனக்கு ரொம்ப பிடித்த சீன்களில் ஒன்று அது. அப்புறம் டேட்டிங் சீன்கள். அதப்பத்தி தனிப்பதிவே போடலாம் போங்க. :)

வெளிகண்ட நாதர் said...

இது ஒரு அருமையான படம். இந்த படம் பார்த்து விட்டு, ஜான் நேஷ் கண்டுபிடிச்ச சமாச்சாரம் ஏதோ வணிகத் துறையில ரொம்ப உபயோகமா இருந்ததுன்னு தெரிய வந்தது. ஆன அது இந்த கேம் தியரிதாங்கிறதை புரியவச்சுக்குதுக்கு ரொம்ப நன்றி!

அல்வாசிட்டி.விஜய் said...

அருமை.

donotspam said...
This comment has been removed by a blog administrator.
donotspam said...

இராமநாதன், இந்தப்படத்தில் நாஷுக்கு கேம் தியரியின் விதை தனக்குள் முளைப்பதாக வரும் பார் காட்சி , நமக்கும் நன்றாக புரியக் கூடிய வகையில் அமைந்திருக்கும். இதோ என்னால் முடிந்த விளக்கம்.

கிருஷ்ணாம்பேட்டைல நீயும் ஒன் தோஸ்து கூட்டமும் உக்கார சொல்ல ஒரு டாவு கூட்டமே அப்பாலிக்கா கிராஸ் ஆவுது. சொங்கி கூட்டத்துல சோக்கா இருக்கறவனும் சொம்மா குந்தினவனுக்கும் பல்பு எரியுது, ஒனக்குதான். எல்லா சோமாரியும் டக்கர் டாவாண்ட டைவ் அடிக்க, டக்கர் அப்பிட் வுட்டுகிது. ஒருத்தனுக்கு ஒயித்தி பிரின்பல்தான். கூட்டாஞ்சோறுல பிச்சாங்கைனாலும் ஒரே கைதான் கெலிக்கும், அப்பால வரதெல்லாம் வயிக்கும். நானும் டக்கர் டாவுதான்னு எல்லா டாவும் பிகிலுவுட்டுக்கும். இத்த தாட்ல வுட்ட நீயும் சோக்காளிகளும், டாவு தவிர மத்த பிகருகிட்ட சல்யுட் வுட்க சொல்லர. டாவும் கெலிக்க, டாவு கட்டனு எல்லா சோக்காளியும் கெலிக்கிறான். இத்த தான் கேம் தியரின்னு சொல்லிகினாறு நாஷ் தாத்தா

முகமூடி said...

saw the movie long back. Ur explanation on game theory is simple and good.

ஒரு பொடிச்சி said...
This comment has been removed by a blog administrator.
ஒரு பொடிச்சி said...

The Beautiful Mind - மிகவும் பாதித்த ஒரு படம்.. உண்மைக் கதை என்று தெரிந்தும் Nash பற்றி ஏன் தேடிப் பார்க்கவில்லை என்பது ஆச்சரியமா இருக்கிறது.

(படத்தில்) அவரது நோபல் பரிசு ஏற்புரையில் நான் இங்கு நிற்கக் 'காதல்'தான் காரணம் என்பதாய் ஒரு வரி சொல்லுவார்..
(அப்பொழுது அவரது மனைவியைக் காட்டுவார்கள்).
'காதல்' என்ற சொல்லும் அந்தப் பெண்ணின் அதுவரைகாலமான தனிமையும் உணர்ச்சிகளும் - மனித மனத்தோட விநோதங்களைப்போலவே தொந்தரவு செய்தது.

இப்போதுதான் அவரது புகைப்படத்தைப் பார்க்கிறேன்.
பதிவிற்கு நன்றி.

மோகன்தாஸ் said...

வாங்க இராமனாதன், நல்லாயிருந்துதா சந்தோஷம். கேம் தியரி புரியலையா அது என்னுடைய தவறாகத்தான் இருக்கும். மற்றபடிக்கு உங்கள் வருகைக்கு நன்றி.

மோகன்தாஸ் said...

வாங்க வெளிகண்ட நாதரே, உங்கள் பின்னூட்டத்தை இப்பொழுது தான் என் வெப்சைட்டில் பார்த்தேன்.

சௌக்கியமா, திருச்சி எப்படி இருக்கிறது. உங்கள் வருகைக்கு நன்றி.

மோகன்தாஸ் said...

நன்றி விஜய் (அல்வாசிட்டி), முகமூடி, ஈஸ்வர், பொடிச்சி. உங்கள் வருகைக்கும் பின்னூட்டத்திற்கும்.

இராமநாதன் said...

அட மோகன் தாஸ் (உங்க பேர எழுதினா மோகந்தாஸ்னு வருது இல்லேன்ன மோகண்டாஸ்னு வருது :(),

உங்க தப்பில்லீங்க. என் பிராஸஸர் பிரச்சனை. :)

மோகன்தாஸ் said...

ராமநாதன் அது பிராஸஸர் பிரச்சனையா படலை, நீங்க உபயோகிக்கிற converter பிரச்சனைன்னு நினைக்கிறேன்.

இராமநாதன் said...

தப்பா எழுதறது ஈ-கலப்பை பிரச்சனைதாங்க...அது சும்மா சொன்னது. ஏன்னா உங்க பேர பிரிச்சு எழுதி அப்புறம் சேக்க வேண்டியிருக்கேன்னு..

---
//கேம் தியரி புரியலையா அது என்னுடைய தவறாகத்தான் இருக்கும்.//

நான் பிராஸஸர் பிரச்சனைன்னு சொன்னது நீங்க கேம் தியரி பத்தி தந்த விளக்கம் எனக்கு புரியாம போனதிற்கு..


---
ரெண்டுக்கும் இடையில் நான் போதிய இடைவெளி விடாததால எத்தன குழப்பம் வருது பாருங்க. :)

மோகன்தாஸ் said...

இராமநாதன் எனக்கும் ஏதோ தப்புன்னு புரிஞ்சுது, ஆனா என்னன்னு புரியலை, இப்ப புரிஞ்சிடுச்சி.

அதை எழுதும் பொழுதே கொஞ்சம் குழப்பம் இருந்தது புரியுமான்னு, இன்னும் விளக்கமா எழுதியிருக்கலாம்னு இப்போ தோணுது.

Dharumi said...

gladiator படத்தைவிட இதில்தான் ரொம்ப நல்லா crowe நடிச்சிருந்தார். துள்ளும் வாலிப வயதிலிருந்து கொஞ்சம் கொஞ்சமாய் மாறுவதை அழகாக தன் body language-ல் அற்புதமாகக் காண்பித்திருப்பார்.
நல்ல படம். thanks for the extra information.

மோகன்தாஸ் said...

நன்றி தருமி, உங்கள் வருகைக்கும் பின்னூட்டத்திற்கும்

ரவிசங்கர் said...

மிகவும் ரசித்த படங்களில் இதுவும் ஒன்று. அது உண்மைக்கதை என்பதாலேயே ஈர்ப்பு அதிகமாயிற்று. ஐன்ஸ்டீன் போல கவர்ச்சிகரமான ஆள் இல்லை தான் நாஷ். அதனால், அவரைப்பற்றி எல்லாரும் தேடிப்படிக்க நினைக்காதது ஆச்சரியமில்லை. போன வருடம் முதுநிலைக்கல்வியில் game theory பற்றி விலாவரியாகப் படித்த பின் தான் இப்படம் பார்த்தேன். அதனால், உங்கள் பதிவை புரிந்து கொள்வதில் சிக்கல் இல்லை. ஆழமான பதிவு போடுவதற்கு முன் சனரஞ்சமாக படம் பற்றி எழுத ஆரம்பித்த உங்கள் சாதுரியத்தை மெச்சுகிறேன் ;)

மோகன்தாஸ் said...

நன்றி ரவிசங்கர், உங்கள் வருகைக்கும் பின்னூட்டத்திற்கும்

பத்மா அர்விந்த் said...

மோகண்தாஸ்
இன்று இப்பதிவை படித்தேன். கேம் தியரியை அதிகமாக பொருள் விற்பனையிலும், காவலர்கள் கூட்டு குற்றவாளிகளை தனித்தனியாக பிரித்து குற்றத்தை ஆராயும் போதும் அதிகமாக பயன் படுத்த படுகிறது. சில சமயம் திருமண கவுன்சில்களில் கூட. நான் இந்த தியரியை பற்றி முதலில் மேலாண்மையில் படித்த போது வகுப்பில் இந்த படமும் பார்த்தோம்.

மோகன்தாஸ் said...

நன்றி தேன்துளி, உங்கள் வருகைக்கும் பின்னூட்டத்திற்கும்

நான் said...

திரு.மோகன் தாஸ் அவர்களே,

அருமையான பதிவு. இது போன்ற பதிவெல்லாம் யாரும் போட மாட்டார்களா என எதிர்பார்த்துக் கொண்டிருந்தேன். நான் இன்னும் படம் பார்க்கவில்லை, ஆனால் ஒரு ஆராய்ச்சி மாணவனாக நாஷின் கேம் தியரியை பல விதங்களில் பல பிரச்சினைகளுக்கான தீர்வாக படித்திருக்கிறேன். கேம் தியரியை அடிப்படையாகக் கொண்ட சர்வதேச கருத்தரங்குகளில் கலந்து கொண்ட போதுதான் இதைப் பற்றி மிக மிக விரிவான புரிதல் கிடைத்தது (ஏற்கனவே அறிமுகம் இருந்திருந்தாலும்).

மிக நல்ல பதிவு. நன்றி.

நேரம் கிடைத்தால் என் வலைப்பூவிற்கும் வருகை தாருங்கள்.